David Hilbert i Erhard Schmidt početkom 20. stoljeća, odnosno 1907. godine, dali su prvu studiju o Hilbert-Schmidtovim operatorima te su po njima ti operatori i dobili ime. Za teoriju Hilbert-Schmidtovih operatora vrlo značajan je John von Neumann, iako se većina njegovih rezultata pripisuje John Wilson Calkinu. U ovom diplomskom radu dan je pregled teorije Hilbert-Schmidtovih operatora koji s nuklearnim operatorima čine istaknutu klasu kompaktnih operatora. Na samom početku dali smo osnovnu definiciju Hilbert-Schmitovih operatora na Hilbertovom prostoru, koju smo kasnije proširili do definicije integralnih Hilbert-Schmidtovih operatora na prostoru pozitivne mjere. Pokazali smo da definicija Hilbert-Schmitovih operatora ovisi samo o prostoru na kojemu se definiraju, ali ne i o bazi tog prostora. Dali smo definiciju Hilbert-Schmidtove norme te pokazali da je skup Hilbert-Schmidtovih operatora zajedno s Hilbert-Schmidtovom normom Banachova algebra te obostrani ideal. Nakon sto smo definirali integralne Hilbert-Schmitove operatore pokazali smo da je svaki Hilbert-Schmitov operator kompaktan operator. Vrlo zanimljiva je teorija o tragu Hilbert-Schmitovih operatora, no prije nego li smo krenuli s tim dijelom teorije morali smo iskazati dvije značajne nejednakosti koje su nam prijeko potrebne za ovaj dio teorije, a to su Hadamardova i Carlemanova nejednakost. Hilbert-Schmidtovi operatori su specifični po svome tragu; za razliku od nuklearnih operatora koji imaju konvergentan trag, trag Hilbert-Schmidtovih operatora definira se za par dvaju operatora. Za funkciju traga Hilbert-Schmidtovih operatora pokazali smo da je to simetrična bilinearna funkcija definirana na produktu skupa Hilbert-Schmidtovih operatora sa samim sobom. Također smo pokazali da je trag dvaju kvazi-nilpotentnih Hilbert-Schmidtovih operatora jednak nuli. Osim traga Hilbert-Schmidtovih operatora, ono što je vrlo zanmljivo u ovom radu je odnos Hilbert-Schmidtovog operatora i analitičke funkcije na okolini njegovog spektra. Pokazali smo da za Hilbert-Schmidtov operator \(A\) i funkciju \(f\) koja je analitička na okolini njegovog spektra vrijedi da je \(f(A)\) Hilbert-Schmidtov operator, a zatim smo pokazali zanimljiv odnos traga ovako definiranih Hilbert-Schmidtovih operatora s jedne strane i vrijednosti analitičkih funkcija u točkama spektra s druge strane.