Matrična predznak funkcija je objašnjena pomoću dvije definicije. Pristup dvjema definicijama se temelji na svojstvenim vrijednostima. Prva je definicija preko Jordanove forme, dok je druga pomoću interpolacijskog polinoma. Koordinatna ravnina koja se koristi je kompleksna pa je važno za \(sign(A)\) s koje se strane imaginarne osi nalaze svojstvene vrijednosti od \(A\). Funkcija \(S := sign(A)\) ima specifična svojstva kao što su involutornost, dijagonalizabilnost i komutativnost sa \(A\). Schurov algoritam za računanje matrične funkcije predznaka koristi Schurovu dekompoziciju matrice \(A\) te primjenu \(sign\) funkcije na gornjetrokutastu matricu iz dekompozicije. Složenost mu je \(O(n^3)\), a sveukupno za algoritam je potrebno oko \(\frac{86}{3}n^3\) operacija da bi se došlo do rješenja. Slijedeća metoda opisana u radu je bila Newtonova. Newtonova metoda koristi Newtonove iteracije te je dokazan teorem o konvergenciji Newtonovih iteracija prema \(sign(A)\). Također taj teorem pokazuje da je brzina konvergencije kvadratna te pomoću njega vidimo da će konvergencija biti sporija ako su svojstvene vrijednosti od \(A\) blizu imaginarne osi te ako je spektralni radijus \(\rho(A)\) puno veći od 1. Sam algoritam metode zahtjeva otprilike \(2in^3\) za \(i\) koraka Newtonovih iteracija. Složenost mu je također \(O(n^3)\). Učinkoviti način da se poveća brzine konvergencije može ponekad biti skaliranje iteracija. Zato postoje i Newtonove skalirane iteracije koje su slične običnima, osim što se kako im ime kaže množe sa nekim određenim skalarom. U tekstu su korištena tri skalara: pomoću determinante, spektralnog radijusa te norme. Dokazan je teorem o konvergenciji spektralno skaliranih iteracija prema \(sign(A)\) funkciji. Naime, konvergiraju nakon \(d+p-1\) koraka gdje je \(d\) broj različitih svojstvenih vrijednosti od \(A\), a \(p\) je određen dimenzijom najvećeg Jordanovog bloka od \(A\). Algoritam skalirane metode zahtjeva \(2in^3\) za \(i\) iteracija. Postoji još jedna vrsta iteracija koja je izvedena iz formule: \(sign(A) := A(A^2)^{-\frac{1}{2}}\) a to su Padéove iteracije. Temelje se na racionalnim polinomnim funkcijama. Matrična iteracija ovisi o kvadratnoj potenciji i inverzu matrice. Teorem o konvergenciji Padéoveih iteracija govori o dva slučaja: kada je konvergencija iteracija lokalna i globalna. Brzina u oba slučaja je \(l+m+1\) gdje su \(l\) i \(m\) stupnjevi polinoma koji se koriste u toj Padéoveoj aproksimaciji. Numerička stabilnost iteracija je objašnjena pomoću teorema koji daje rezultat da su iteracije koje superlinearno konvergiraju prema \(sign(A)\) numerički stabilne, Fréchetova derivacija od iteracijske funkcije u \(S\) je idempotentna i vrijedi da je Fréchetova derivacija od iteracijske funkcije jednaka Fréchetovoj derivacija od \(sign\) funkcije te jednaka \(\frac{1}{2} (H-SHS)\) gdje je \(H\) perturbacijska matrica. Zbog tih rezultata zaključujem da za ograničenu uvjetovanost matrice \(S := sign(A)\) iteracija iz gornjeg teorema je stabilna. Također, isto vrijedi ako \(H\) i \(S\) komutiraju. Što se tiče iteracija, analizirana je i njihova konačnost, odnosno koliko je iteracija potrebno da bi se došlo do rješenja. Dokazan je teorem o granicama za rezidualnu pogrešku \(||X_i-S||\) te relativnu pogrešku \(\frac{||X_i-S||}{||S||}\) za iteracije \(X_i\) što nam pomaže u odabiru kriterija zaustavljanja. Osjetljivost i uvjetovanost matrice su objašnjene pomoću relativnog broja uvjetovanosti funkcije \(sign\). Teorem daje rezultat o donjoj i gornjoj granici za broj uvjetovanosti \(sign\) funkcije u odnosu na matricu \(A\) te matricu \(S\).