U ovom radu dokazani su osnovni rezultati o ovisnosti svojstvenih vrijednosti Laplaceovog operatora o promatranoj domeni. Posebno, promatra se problem nalaženja domene koja minimizira prvu svojstvenu vrijednost. Prvo poglavlje daje pregled funkcijskih prostora korištenih u radu i osnovnih rezultata koji vrijede za te prostore. U drugom poglavlju definirali smo linearni eliptički operator drugog reda te mu pridružili rubne uvjete. Nadalje, iznijeli smo osnovni rezultat koji daje uvjete za egzistenciju rješenja svojstvenog problema te dokazali da ih linearni eliptički operator drugog reda (pa time i Laplaceov operator) zaista ispunjava. Sada kada smo osigurali egzistenciju svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija, promotrili smo njihove osnovne karakteristike i dokazali važne relacije koje će do izražaja doći u zadnjem poglavlju. U trećem poglavlju iznesen je skup alata koje smo koristili u zadnjem poglavlju rada. Najprije smo definirali Schwarzov preslog i Steinerovu simetrizaciju. Zatim smo promotrili kako svojstvene vrijednosti ovise o domeni i u tu svrhu definirali \(\gamma\)-konvergenciju i Hausdorffovu udaljenost skupova i tako došli do uvjeta dovoljnih za neprekidnost funkcija svojstvenih vrijednosti. Izložili smo i teoreme o egzistenciji domene na kojoj \(k\)-ta svojstvena vrijednost Laplaceovog operatora uz Dirichletov rubni uvjet poprima minimum i naveli nekoliko rezultata o derivacijama svojstvenih vrijednosti s obzirom na domenu. Naposljetku, u četvrtom poglavlju izložili smo poznatu Faber-Krahnovu nejednakost koja dokazuje da među svim domenama zadane površine, upravo kugla minimizira prvu svojstvenu vrijednost Laplaceovog operatora uz Dirichletov rubni uvjet. Isti smo problem promotrili u ravnini na mnogokutima sa zadanim brojem stranica, na domenama unutar nekog zadanog područja te na domenama s rupom. Također, naveli smo nekoliko otvorenih problema koji se nameću iz ovdje dokazanih rezultata.